Domande orali Geometria 2

$\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
Chi sono i biolomorfismi da $\mathbb{C}$ in $\mathbb{C}$?

Zeri di funzioni olomorfe e Teorema di Rouché.
Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ su $(\mathbb{R}_2\setminus\{0\})/G$.
Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile e controesempio quando il prodotto é più che numerabile

Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
Esempio di funzione armonica che non sia la parte reale di una funzione olomorfa
Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?

Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione

Teorema di Liouville
In quale altro risultato che abbiamo visto si usano le stime di Cauchy sui coefficienti? (Voleva la caratterizzazione delle singolarità essenziali, io gli ho nominato il lemma di Schwarz e mi ha fatto fare la dimostrazione anche di quello)
Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l’altro) due assiomi di separazione a scelta
Cosa sai dire delle proprietà di separazione della topologia di Zariski?

Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
Funzioni armoniche e parti reali di funzioni olomorfe.
Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?

Connesso non connesso per archi
CPA $\implies$ connesso
$[0,1]$ connesso
Olomorfa $\implies$analitica
Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$

Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
Definizione funzione olomorfa. Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
Il toro si retrae al toro senza un dischetto?

Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
Ultima domanda dell’esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell’aperto connesso.

Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà

Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
Dove posso definire una funzione radice quadrata olomorfa?
Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$

Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità - definizioni
Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
Definizione funzione armonica + ogni armonica è parte reale di una funzione olomorfa su di un semplicemente connesso.

Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
$[0,1]$ è connesso
funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe. Dimostrazione teorema di Weiestrass

Esempio di un connesso non connesso per archi
$Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
Determinare chiusura dell’insieme $\{0\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\{0\} \times (]0,1[ \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
Liouville

Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
Definizione indice di avvolgimento.

Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale.
Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
Dimostrazione preferita del Teorema Fondamentale dell’Algebra

Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
Olomorfa $\implies$ Analitica
Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
Un biolomorfismo dal disco unitario in sè con $f(0) = 0$

Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
Principio del massimo modulo

Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
$\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?

Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi

Trovare uno spazio connesso ma non connesso per archi.
Dimostrare che la chiusura di un connesso è connessa.
Definizione di parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Queste definizioni dipendono dallo spazio ambiente?
Calcolare la chiusura di $(0,1)$ e dei razionali in $[0,1]$ immersi in $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$.
Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.

Calcolare n-proiettivo reale
Olomorfa sse analitica
Esercizio sul proiettivo del compito di luglio mi sembra

31/05/21 Palmieri:

Spazio delle matrici $nxn$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?
Curva affine in $\mathbb{C}^2$: $y^2=x^3-x$. Qual è la sua chiusura proiettiva? Il supporto affine è denso nel supporto proiettivo? def. di asintoto, calcolo degli asintoti e punti singolari di questa curva. Stima brutale del numero di asintoti di una curva di grado d.

Pitrone:

$f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f’(z) = a\cdot f(z)/z$?
$\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?

Boscardin:

Esempio di rivestimento non regolare
Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l’immersione del $\pi_1(E)$ è normale
Trovare tutte le funzioni olomorfe su $\mathbb{C}$ per cui esistono $k$ e $d$ tali che $|f(z)|\leq k\cdot|z|^d$

Tarini:

Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
biolomorfismi di $\mathbb{C}$ e del disco aperto

Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
Teorema di Bezout
Data $F$ irriducibile di grado $d$, quanti punti singolari può avere al massimo $F$? (una stima)

Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
Formula di Cauchy
$f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?

Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
Formula di Cauchy

Derivata logaritmica
Prodotto di due spazi compatti è compatto
Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)

Definire l’integrale di forme chiuse su curve continue, accenni di dimostrazione di “integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope”, un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi, connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi, la connessione per archi è relazione di equivalenza
Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$?

Automorfismi del disco
Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest’ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)

Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
Gruppo fondamentale del toro
Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze

Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|\leq k*|z|^d$
Teorema di Liouville (con dimostrazione)

Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze

Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
Compattezza in spazi metrici.
“Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive.

Domande 20/6/2022 Primo enunciato di Riemann-Weierstrass

Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
$\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
Equazione di Cauchy-Riemann.
Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva.
Conica singolare $\implies$ degenere con $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
Chi è il rivestimento universale del toro?

Marzenta Giovanni:

Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da $\mathbb{C}$ in $\mathbb{C}$) tali che $|f(z)|\leq k\cdot |z|^d$.

$X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$. È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi

21/6/2022

Che relazione c’è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità?
Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre?
Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente… Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
Definizione di Rivestimento; Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
Teorema fondamentale dell’Algebra.
Una cubica $C = [p]$, può avere una retta tangente in due punti (no)? Se invece ha grado 4?
Teorema di Riemann-Weierstrass.

Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).
Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).